・Apple社の無線ルータ(AirMac & AirPort)を設定するための必須ツール。
Macintosh(MacOS)搭載機には、デフォルトでインストールされている。
Windows系PCでは、このユーティリティのインストールが必要となる。
・このユーティリティにもバージョンがあり、OSごとに使用出来るユーティリティに制限がある。
また、ユーティリティごとに設定出来る AirMacに制限があるらしい。
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OS X 10.9 で AirMac ユーティリティ 5.6 を使えようにする方法 <>
<Ver 6.1>
Mac OSX Lion(10.7.2)以降で利用可能。
1 Finder[ファインダー]-[アプリケーション]-[ユーティリティ]-[AirMac ユーティリティ]

を起動する。
パターンA インターネットと Airmac名にオレンジ色が付いている →AirMacからインターネットに繋がっていません。 | | パターンB インターネットと Airmac名に緑色が付いている →Airmacからインターネットに繋がっています。
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パターンA インターネット接続先の設定が必要。A-1 下段のAirmacのアイコンをクリックすると、詳細情報が表示されます。そのウィンドウにある「編集」をクリックしましょう。 
A-2 インターネットタブへ移動します。(最初に開いているのはルータのログインパスワードなどを決める画面です。)

A-3 接続方法を「PPPoE」に変更すると、「アカウント名」「パスワード」の入力枠が表示されます。
インターネット接続用のID、PWをここへ入力し、終わったら「アップデート」をクリックします。

「アップデート=更新」ということらしい。
A-4 次に、<ワイヤレス>へ進み、無線のセキュリティを確認します。
初期段階では「セキュリティなし」になっているので、必ずチェックしてください。
ネットワーク名は変えない方がわかりやすいと思いますが、お好きに。
セキュリティの内容は普通のルータと変わりません。

A-5 ワイヤレスオプションは、「5GHz帯域を使用するか否か」の設定です。
クリックするとこういう警告が出てきます。
A-6 続けるとこうなります。
<ネットワーク>
DHCPの範囲がわかります。

1 Airmac Expressを、ルータのLANポートに繋ぐ。
2 Wi-Fiを設定する。(LAN口は一つしかないので、配線した時点で無線しか使えないょ)
3 Airmacユーティリティを使う。(WIndows用もあります。)
4 「モデム類の電源を入れなおしてください」と指示が出たら、
ルータの電源を切り、10秒待ってから入れ直します。
この指示がなければ、気にせずに手順5へ。
5 ネットワークからWi-Fiを確認してください。上位RTのIPアドレスになっているはずです。
え?
解説になってない?
いや、実際これでいけるんですもん。
ていうか、・・・わかんないだもん・・・。
鋭意資料収集中。
【Airmacユーティリティ】
・Apple社無線ルータ Airmacシリーズを設定するための必須ツール。
2015年7月現在、
ベースステーション、
エクスプレス、
タイムカプセル、
エクストリームなどがある。
・Macintoshに搭載されているツールは、内蔵無線LANの設定にも使えるようですが、詳細不明です。
素直にネットワーク設定からWI-Fiを設定したほうが早いです。
・Airmacシリーズの設定に必須ツールなので、Windows用の設定ツールも存在する。
他社無線ルータのような、デフォルトゲートウェイを叩く方法では設定出来ないので、注意が必要。
【特徴】
・初めての設定の際は、「AirMac親機の電波検出と、無線のセキュリティ設定(パスワード)など」を誘導してくれる。
これは、
AIrmacシリーズの無線には、初期値でセキュリティなしだから、らしい。
一度でも設定してあるAirMac親機の場合は、この限りではない。
・ユーティリティを起動してもAirmac(親機)が検出されない場合、「子機側の無線が生きているか」を疑うべし。
MacOS & iOS IPアドレスの確認方法 たまに、無線通信が「切」になっていることがあります。
利用できるネットワークも、ほかのルータの電波を拾ったりしていませんか?
・子機側で無線設定がしてある場合
平たく言うと、「他のメーカーの無線機器から乗り換えたとき」や、「他のルータと同じように、手動で無線設定を済ませたとき」のことです。
全く設定されていなければユーティリティが全部やってくれるんですが、何か設定があると、やってくれないらしいです。
無線のパスワードがわかるなら、AIrmacのSSIDで設定しなおしましょう。分からないなら、初期化するしかありませんぞ。
・人から譲ってもらったなどで、Airmacが初期状態ではないとき
これも上記と同じ状態に。
1 Windows版AirMacユーティリティの起動は、「すべてのプログラム-Airmacユーティリティ」です。
2 起動すると、問答無用で更新確認になります。

3 まあ、設定が出来ていない場合やインストール直後は、この表示になるのですが。

4 新しく設定するときは、手動設定です。
実機を持っているわけではないので、これ以上の記事がかけません。
@ウィキがありましたので、「Macまとめ - AirMac」を参考にしてください。
2ちゃんねるのまとめなので、多少厳しい書き方かも?
ブログ内記事:Airmacユーティリティ For Windows